-
פונקציית רימן
כל מה שרצית לדעת על פונקציית רימן:פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית שקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה כוללת בדיוק את המספרים הרציונליים. הפונקציה מוגדרת בנקודות הרציונליות לפי (כאשר השבר מצומצם, כלומר p,q זרים זה לזה), ומתאפסת בנקודות שאינן רציונליות. (ב- ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר…
-
פונקציית דיריכלה
כל מה שרצית לדעת על פונקציית דיריכלה:פונקציית דיריכלה היא פונקציה ממשית המקבלת את הערך 1 עבור כל מספר רציונלי ואת הערך 0 עבור כל מספר אי רציונלי. כלומר זוהי הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים הרציונלים על הישר:מקורות מסוימים מגדירים את פונקציית דיריכלה דווקא כפונקציה המציינת של המספרים האי-רציונליים. הפונקציה נחקרה לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני…
-
המשוואה הפונקציונלית של קושי
כל מה שרצית לדעת על המשוואה הפונקציונלית של קושי:המשוואה הפונקציונלית של קושי היא המשוואה הפונקציונלית . זוהי אחת המשוואות הפונקציונליות הפשוטות ביותר להצגה, אך פתרונותיה הלא-רציפים מדגימים פתולוגיות המשותפות למשוואות פונקציונליות רבות אחרות. כמו בכל משוואה פונקציונלית אחרת, הבעיה היא למצוא את הפונקציות המקיימות את התנאי שהוזכר לעיל. מעל המספרים הרציונליים, כלומר, עבור פונקציות ,…
-
פונקציית בסיס 13 של קונוויי
כל מה שרצית לדעת על פונקציית בסיס 13 של קונוויי:פונקציית הבסיס-13 של קונוויי היא פונקציה ממשית המקבלת כל ערך ממשי בכל קטע. הפונקציה המבוססת על הצגת ערכים בבסיס 13 ובבסיס 10, תוארה על ידי המתמטיקאי ג'ון הורטון קונוויי. כמו הפתרונות הלא רציפים של המשוואה הפונקציונלית של קושי, הגרף של הפונקציה צפוף במישור הממשי, והיא אינה…
-
פונקציית קנטור
כל מה שרצית לדעת על פונקציית קנטור:פונקציית קנטור הידועה גם כמדרגות השטן היא פונקציה רציפה לא יורדת שמטפסת מ-0 ל-1 למרות שהנגזרת שלה מתאפסת כמעט בכל מקום. בזכות תכונותיה הייחודיות פונקציית קנטור שימושית בהקשרים רבים, ובפרט כדוגמה נגדית לטענות רבות באנליזה ממשית. הפונקציה נקראת על שמו של גאורג קנטור שהיה הראשון שחקר אותה. נלקח מויקיפדיה…
-
פונקציית ויירשטראס
כל מה שרצית לדעת על פונקציית ויירשטראס:פונקציית ויירשטראס היא הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה. לפי משפט הקטגוריה של בייר, אוסף הפונקציות הרציפות הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בצורה פשטנית אומר המשפט כי "רוב" הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה, אולם המשפט אינו…